시작

VINS-Mono논문의 Appendix A “Quaternion-based IMU Preintegration”의 내용을 기반으로 하고, 다음의 논문들을 참조하여 작성하였습니다.

[1] Efficient Integration of Inertial Observation into Visual SLAM without Initialization

Notation

• $(\cdot)^w$ : world frame, 중력의 방향은 world frame의 z축과 align되어 있습니다.
• $(\cdot)^b$ : body frame (IMU frame)
• $(\cdot)^c$ : camera frame
• $\mathbf{R}$ : rotation matrix
• $\mathbf{q}$ : Hamilton quaternion
  • 주로 state vector에 사용
  • 3D vector의 편한 회전 연산을 위해서 사용됨
• $\mathbf{q}{b}^{w}, \mathbf{p}{b}^{w}$ : rotation and translation from the body frame to the world frame
• $b_k$ : the body frame while taking the $k$th image
• $c_k$ : the camera frame while taking the $k$th image.
• $\otimes$ : represents the multiplication operation between two quaternions
• $\mathbf{g}^w = [0,0,g]^T$ : the gravity vector in the world frame
• $\hat{(\cdot)}$ : the noisy measurement or estimation of a certain quantity

정리

body frame에서 측정된 IMU 측정값은 acceleration bias $\mathbf{b}_a$, gyroscope bias $\mathbf{b}_w$, additive noise에 영향을 받는다. accelerometer와 gyroscope의 raw measurements $\hat{\bf{a}}, \hat{\boldsymbol{\omega}}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{equation} \begin{align*} \hat{\mathbf{a}}_t &= \mathbf{a}t + \mathbf{b}{a_t} + \mathbf{R}^t_w\mathbf{g}^w + \mathbf{n}_a \\ \hat{\boldsymbol{\omega}}t &= \boldsymbol{\omega}t + \mathbf{b}{\omega_t} + \mathbf{n}\omega \end{align*} \end{equation} $$

이 때, additive noise가 Gaussian white noise라고 가정한다. $\mathbf{n}a \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\sigma}^2{a}),\ \mathbf{n}\omega \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\sigma}^2\omega)$

Acceleration bias와 gyroscope bias의 모델은 random walk이고, derivatives는 Gaussian white noise이다. $\mathbf{n}{b_a} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\sigma}^2{b_a}), \ \mathbf{n}{b\omega} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\sigma}^2_{b_\omega})$